Aplicaciones lineales generales
Introducción
Habiendo relajado el concepto de espacio vectorial, estamos listos para una generalización similar de las transformaciones lineales. Este apunte de clase suele ser más fácil de digerir para los estudiantes, ya que el salto mental ya se ha dado para los espacios vectoriales generales. Por lo tanto, nos sumergimos directamente a través de la siguiente definición de transformaciones lineales:
La definición
Sea
una función de un espacio vectorial a un espacio vectorial , entonces se llama aplicación lineal de a , si se cumplen las siguientes dos propiedades para todos los vectores y para todos los escalares :
, (homogeneidad)
, (aditividad)
En el caso especial cuando los dos espacios vectoriales son iguales, es decir, , se llama operador lineal en el espacio vectorial .
En consecuencia, tenemos los tres siguientes resultados para una transformación lineal :
Antes de continuar, veamos las definiciones de núcleo e imagen (o rango) respectivamente:
Sea una aplicación lineal. Entonces tenemos dos conjuntos de vectores, llamados el núcleo y la imagen de respectivamente, y los definimos como:
El núcleo es el conjunto de vectores en que mapea en , y lo denotamos por .
La imagen, o rango, es el conjunto de vectores en que son imágenes de al menos un vector en , y lo denotamos por .
Tres teoremas
Aquí se enumeran tres teoremas útiles. Pueden ser utilizados para resolver problemas o probar otros teoremas.
Si es una aplicación lineal, entonces mapea subespacios de en subespacios de .
Si es una aplicación lineal, entonces es un subespacio de y es un subespacio de .
Si es una aplicación lineal, entonces lo siguiente es equivalente:
es uno-a-uno
Ahora visitamos cinco ejemplos de transformaciones lineales, a saber, transformación cero, transformación identidad, transformación de evaluación, transformación de diferenciación y transformación integral.
Transformación nula
Sean y ambos espacios vectoriales y consideremos la transformación:
donde
lo que significa que cada vector en se transforma en el vector cero .
Esta transformación es de hecho lineal, ya que tenemos para cada escalar :
Transformación identidad
Sean y ambos espacios vectoriales y consideremos la transformación:
donde
lo que significa que cada vector en se transforma en sí mismo. Esta transformación es de hecho lineal, ya que tenemos para cada escalar :
Transformación de evaluación
Sea un subespacio del espacio vectorial y considere la siguiente secuencia de números reales distintos:
Tenemos el siguiente mapeo que asocia con su n-tupla de valores de función en la secuencia mencionada:
donde
Llamamos a esto la transformación de evaluación en en
Por ejemplo, si tenemos que
y si dejamos
entonces obtenemos:
La transformación de evaluación es lineal, ya que tenemos para cada escalar :
Aplicación diferencial
Sea el espacio vectorial de funciones de valor real con derivadas primeras continuas en . Además, sea el espacio vectorial de funciones continuas de valor real en . Consideremos ahora la siguiente aplicación lineal,
que es la transformación que mapea una función a su primera derivada.
Esta transformación es de hecho lineal, ya que tenemos para cada escalar las siguientes reglas de diferenciación de cálculo (no probadas aquí):
Podemos generalizar esta transformación introduciendo , la k-ésima derivada de , y el espacio vectorial . Entonces tenemos que
donde es el mismo espacio vectorial que antes y
Aplicación integral
Sea
el espacio vectorial de funciones continuas en . Además, sea
el espacio vectorial de funciones con derivadas primeras continuas en . Consideremos ahora la siguiente aplicación lineal,
que es la transformación que mapea una función a la integral:
Esta transformación es de hecho lineal, ya que tenemos para cada escalar las siguientes reglas de integración de cálculo (no probadas aquí):
Isomorfismo
Introducción
El isomorfismo es un concepto recurrente en matemáticas y, dependiendo del área en matemáticas, se conoce con nombres especializados, como isometría para espacios métricos, homeomorfismo para espacios topológicos, difeomorfismo para variedades diferenciables y automorfismo para permutaciones de un conjunto. No es necesario entender todos estos conceptos para un curso de álgebra lineal, pero los estudiantes que se inspiran para estudiar matemáticas superiores se familiarizarán con uno o más de estos. Las matemáticas son verdaderamente hermosas, como una ciencia artística.
Definición
Entonces, vayamos al grano y definamos el isomorfismo:
Digamos que tenemos una aplicación lineal , y los dos espacios vectoriales y , tales que
que es uno a uno (cada vector se mapea a un vector único en ) y sobre (todos los vectores que se emparejan con al menos un vector en bajo ). Entonces llamamos a un isomorfismo, y decimos que el espacio vectorial es isomorfo al espacio vectorial .
La mayoría de nuestros teoremas se han centrado en el espacio vectorial real , lo cual puede parecer limitado para el verdadero pensador abstracto. De hecho, todos estos teoremas siguen siendo válidos gracias a un hermoso teorema con una demostración simple. El teorema afirma que todos los espacios vectoriales n-dimensionales son isomorfos a . Antes de enunciar el teorema y hacer la demostración, vamos a sumergir nuestros pies en esta agua construyendo algún tipo de intuición para el problema planteado. Comparemos el espacio polinomial con el espacio vectorial real . Entonces tenemos que cada polinomio puede ser expresado de manera única en la forma:
y por lo tanto puede ser representado de manera única por su n-tupla de coeficientes:
Así, tenemos una transformación trivial tal que:
Ya que cada posible combinación de coeficientes
puede relacionarse trivialmente con cada vector en tenemos que es un mapeo uno a uno y sobre de a . También tenemos que es lineal, ya que tenemos para cada polinomio y :
y para cada escalar que:
Por lo tanto, hemos demostrado que es una aplicación lineal de a , y justificado por qué es uno a uno y sobre. Por lo tanto, es un isomorfismo, y después de este primer contacto estamos listos para el siguiente hermoso teorema, con una demostración simple que lo acompaña:
Todo espacio vectorial real de dimensiones es isomorfo a
Sea un espacio vectorial real de dimensiones. Probamos que es isomorfo a encontrando una aplicación lineal
que es uno a uno y sobre. Comenzamos definiendo una base para :
Esto significa que para cada vector tenemos una combinación lineal única como:
donde son las coordenadas de con respecto a la base . Ahora definimos la transformación :
de modo que tenemos que:
Por supuesto, esta transformación no es seleccionada al azar. Tenemos una intuición de que cumple con los requisitos de un isomorfismo. Para demostrar esto, necesitamos probar que es lineal, uno a uno y sobre. Mostramos estas tres propiedades una a la vez. Comenzamos mostrando la linealidad:
Linealidad (1/3)
Sean y vectores en tales que
y sea un escalar. Mostramos las dos propiedades de la linealidad:
Uno a uno (2/3)
Ahora mostramos que es uno a uno, y lo hacemos mostrando que si y son vectores distintos, entonces también lo son sus imágenes bajo . Ya que:
lo que muestra que y tienen imágenes distintas bajo .
Sobre (3/3)
Finalmente, mostramos que es sobre asumiendo que pertenece a con componentes:
que debe ser una imagen bajo del vector tal que:
Esto concluye la demostración.
