Transformaciones lineales

¡Bienvenidos a la parte más divertida del curso de álgebra lineal! Esta sección puede ser algo exigente para el principiante, pero con la introducción adecuada y el ritmo correcto, esta sección también puede ser realmente agradable. El curso de álgebra lineal trata casi exclusivamente sobre la siguiente ecuación:

Hasta ahora, hemos considerado la ecuación como un sistema lineal de ecuaciones y determinado los conjuntos de soluciones para los tres casos: una solución única, infinitas soluciones y ninguna solución. Ahora veremos la matriz desde otra perspectiva, es decir, como una aplicación lineal. Nos enfocaremos en las propiedades de la matriz desde la perspectiva de ver como una función. Tomemos nuevamente la misma ecuación, pero nombrando los vectores y .

Ahora no tenemos incógnitas y en cambio podemos ver como una función que transforma el vector en el vector . Esta sección trata sobre cómo puede verse , cómo se lleva a cabo la transformación y qué interpretaciones geométricas se pueden hacer. Comenzamos repasando lo que generalmente se aplica a la definición de funciones, es decir, algo que también se aplica fuera de este curso.

Esta sección es un poco difícil de digerir para algunos, así que está bien si no se entiende naturalmente al principio. Pero es importante que el principiante practique el pensamiento abstracto, así que comenzamos con una explicación de la analogía entre transformaciones lineales y funciones que se han aprendido en cursos de cálculo.

¡Mira la imagen! Tenemos dos cantidades, una a la izquierda y otra a la derecha. Sea una función que relaciona elementos del conjunto izquierdo con el conjunto derecho. Entonces, el conjunto izquierdo se llama el dominio de , mientras que el conjunto derecho se llama el codominio de . Veamos el dominio como una entrada a . Luego tenemos un conjunto de elementos a la derecha que podemos ver como una salida de . Si notamos la entrada a como , entonces la salida de se llama , que es el valor de o la transformación de . Además, decimos que mapea a . Es común notar salidas con una sola variable , como en . Sin embargo, no tiene que ser todo el codominio, y es común que cubra un subconjunto del codominio, llamado rango o mapa.

Tres clases de funciones (y transformaciones lineales, por esa razón) son inyección, sobreinyección y biyección. Resumimos con:

Una observación agradable que puede hacer el principiante es que podemos definir un mapeo biyectivo como tanto inyectivo como sobreinyectivo.

Sea . Entonces tenemos lo siguiente:

Sea . Entonces tenemos lo siguiente:

Sea . Entonces tenemos lo siguiente:

Volvamos a revisar la ecuación:

y no nos centremos demasiado en el hecho de que y suelen notarse como vectores desconocidos, ya que es común usar la misma notación en estos contextos. Ahora recuerda que la matriz mapea al vector . Pero, ¿qué es entonces un mapeo? Un mapeo es una función cuya entrada y salida son vectores y también se puede llamar transformación. Un mapeo suele notarse con una letra mayúscula como , o . Si es un mapeo que transforma el vector del subespacio (notado como y leído como " en ") a del subespacio , esta relación se nota o a veces como:

que se lee como " mapea en ".
En un curso de álgebra lineal, los espacios para el dominio y codominio suelen estar definidos, así que dejemos que sea y sea , de modo que:

que es generalmente una notación más familiar en este curso.

Una linealidad o sistema lineal fuera de las matemáticas suele definirse como algo que tiene una relación proporcional entre entrada y salida. Un sistema cumple con la condición de linealidad si, al modificar su entrada, devuelve una salida modificada correspondientemente. Para un ejemplo del mundo real, podemos mirar a las finanzas personales. Imagina una cuenta de ahorros sin interés. Supongamos que tenemos un ahorro mensual de 10 USD. Esto significa que hemos ahorrado 120 USD en un año y 1,200 USD en diez años. Si ahorramos el doble, es decir, aumentamos nuestra tasa de ahorro por un factor de 2, habremos ahorrado 2,400 USD en diez años. Si en lugar de eso ahorramos en dos cuentas de ahorro por separado con 10 USD por mes cada una, entonces también recibiremos la misma cantidad total. Estos son ejemplos de sistemas lineales, y así mismo, una introducción a la definición de una aplicación lineal.

Esta definición conduce a las siguientes propiedades.
Si:

es un mapeo lineal, entonces se aplica que:

Antes de adentrarnos en lo que es una matriz de transformación, primero debemos determinar que todas las transformaciones lineales, o mapeos, de a son transformaciones matriciales. Primero mostramos que una transformación matricial es una aplicación lineal, luego mostramos que una aplicación lineal debe ser una transformación matricial.

La matriz mencionada anteriormente como se llama la matriz de transformación. A menudo se nota en la literatura como o para las respectivas transformaciones lineales y . También se puede notar simplemente como . Las dos notas mencionadas anteriormente se escriben:

y pueden aparecer en una oración como la matriz de transformación para , es la transformación de o es la transformación representada por .
La visión anterior es tan interesante, que la resumimos de nuevo aquí. La demostración ya está clara a partir de la afirmación anterior.

Sea una transformación que mapea a con la ayuda de la matriz :

Entonces tenemos:

Luego podemos expresar la transformación como:

con mapeando a :

Resumiendo la sección anterior, tenemos:

El hecho de que el rango sea un plano generalmente necesita una explicación adicional, pero se ve de la siguiente manera:

¡Nota la última línea! Seguramente se puede comparar con la forma paramétrica del plano? A saber:

Este suele ser un punto de confusión adicional para el principiante, pero introducimos este aspecto temprano, para que el conocimiento tenga tiempo de madurar a percepción antes del examen. ¡Todo el contenido en álgebra lineal está interconectado, lo que hace que el curso sea conceptualmente difícil! Cuando ves el contexto por lo que es sin estar confundido, entonces sabes que el entendimiento ya está!

Sea una transformación a través de la matriz:

Entonces tenemos:

Decimos que colapsa a . En este caso particular, cualquier y en el punto en colapsan al punto en .

Tres tipos de transformaciones lineales que todos deben manejar, entender y poder derivar son rotación, proyección y reflexión.

Por rotación como una transformación lineal, nos referimos a una matriz , llamada matriz de rotación, que mapea cada vector a una rotación alrededor del origen en un ángulo dado . Se espera que el principiante aprenda esto tanto para como para , y como siempre se recomienda primero intentar entender en lugar de aprender fórmulas de memoria.

Sea el vector resultante de un vector arbitrario que ha sido rotado en sentido antihorario alrededor del origen por el ángulo . Entonces tenemos que la matriz de transformación devuelve de la siguiente manera:

Según la fórmula general de la matriz de transformación para una aplicación lineal, podemos expresar para:

como:

Por lo tanto, el vector transformado se puede expresar como:

La última fila es una combinación lineal de dos vectores con los escalares y . Gráficamente, esto se puede deducir con la ayuda de el círculo unitario. Se espera que el principiante conozca tanto el círculo unitario como los valores del coseno, seno y tangente para los ángulos estándar:

La rotación alrededor del origen en 3 dimensiones plantea las preguntas de seguimiento: ¿alrededor de qué eje? y ¿con qué orientación? Obtenemos la respuesta a la segunda pregunta con la ayuda de la regla de la mano derecha que define la dirección de un ángulo seleccionado (en dos dimensiones se vuelve tan simple como en sentido antihorario o en sentido horario). El vector puede girar alrededor del eje , el eje o el eje . Si gira alrededor de varios, es más fácil producir la matriz de rotación para cada uno de los ejes y luego multiplicarlas juntas (llamada transformación compuesta). La matriz de rotación en se deriva utilizando la matriz de rotación en que derivamos en la sección anterior. Comencemos con un ejemplo donde el vector gira alrededor del eje . Esto significa que bloqueamos las coordenadas para y aplicamos la matriz de rotación solo para las coordenadas y . Comenzamos desde cero y tenemos:

donde los elementos marcados se pueden reconocer como la matriz de rotación en una parte de la matriz de rotación que notamos como . Observa que en la última fila del vector resultante, la coordenada está bloqueada con y no afecta a las coordenadas y . Allí encontramos en cambio la expresión reconocida para el mapeo de la matriz de rotación . Análogamente, podemos llegar a las correspondientes matrices de rotación y con rotación alrededor de los ejes y , respectivamente. Definimos las tres:

Sin embargo, observa cómo el signo menos cambia de lugar para . Esto está asociado con ser consistente con la orientación de los tres ejes y está vinculado a la regla de la mano derecha. Por ahora, la recomendación es aceptarlo, ya que la comprensión completa puede requerir bastante tiempo que se puede dedicar a otras partes del material en el curso.

La matriz de proyección toma un vector y lo proyecta ortogonalmente sobre una línea en , o sobre una línea o plano en , utilizando el teorema de la proyección. Aquí repasamos ambas matrices de transformación.

Sea la proyección del vector sobre el vector . Entonces es cierto que la matriz de transformación es:

Para derivar la matriz de transformación, recordamos el teorema de proyección para proyectado sobre como:

pero donde en lugar de eso, consideramos los vectores:

Entonces podemos derivar la matriz de transformación como:

donde la última línea muestra la fórmula para la matriz de transformación .

Tomemos la aplicación lineal:

que proyecta el vector sobre el vector:

A partir de la derivación de la matriz de proyección , tenemos que la matriz de transformación es:

Por lo tanto, la matriz de transformación para la aplicación lineal de la proyección sobre un vector en es:

Sea:

la transformación lineal que proyecta un vector sobre el plano con el vector normal . Entonces la matriz de transformación es :

donde es la matriz identidad en , y la matriz de la derecha la reconocemos como la matriz de transformación para proyección de vector en . Desafortunadamente, la matriz de transformación no se puede notar más bellamente, pero la forma más fácil es insertar números del vector normal dado primero y luego hacer la resta. La derivación es bastante simple, tanto que ya la aprendimos al principio del curso, a saber, la suma de dos vectores. ¡Vea la imagen! Donde definimos el vector proyectado sobre el plano y como la suma:

donde es la proyección de sobre el vector normal del plano .

Esto nos lleva a:

donde es la matriz de transformación para la proyección sobre el vector . Así, hemos derivado la definición de la matriz de transformación anteriormente.

Una vez que hemos entendido la proyección sobre un plano arbitrario, podemos reutilizar la fórmula para la proyección sobre el plano de coordenadas. Tenemos tres planos de coordenadas en , a saber, el plano , el plano y el plano . Tomamos el ejemplo del plano . Sea:

una transformación lineal, con la matriz de transformación proyectando cualquier vector sobre el plano . Esto significa que:

Mientras que las coordenadas e existen, la coordenada se convierte en 0, ya que el vector se proyecta sobre el plano . Podemos derivar la matriz de transformación tanto algebraica como geométricamente como:

y también podemos confirmarlo utilizando la fórmula de la matriz de transformación para la proyección sobre un plano arbitrario. Lo mismo se aplica a las otras dos matrices de transformación para la proyección sobre el plano de coordenadas. Resumimos las tres:

La reflexión de un vector siempre se refiere a la transformación de una línea o plano cuyo vector resultante es una imagen espejo en el otro lado.

Tenemos la aplicación lineal:

que refleja el vector con respecto a la línea con el vector de dirección . Su matriz de transformación es:

donde es la matriz de proyección que proyecta un vector arbitrario sobre la línea del vector de dirección . Nombramos el vector resultante de la proyección . (Recordemos que la fórmula de proyección requiere dos vectores, así que incluso si proyectamos sobre una línea, necesitamos un vector de dirección). Según la transformación, podemos escribir el vector resultante , que es el vector de reflexión de alrededor de la línea como la suma:

que se conecta con la definición de la matriz de transformación anterior. La matriz de reflexión para una línea en y para un plano en se puede derivar de manera análoga.

Esta es una sección muy técnica, por lo que hemos puesto especial énfasis en mantenerla corta. Es una sección concisa, pero puede aparecer en la sección de vocabulario que cada examen de álgebra lineal ofrece.

Un operador lineal puede referirse a diferentes definiciones. En el curso básico de álgebra lineal, es bastante convencional que un operador lineal se refiera a una aplicación lineal con el caso especial de que las dimensiones entre el dominio y el codominio sean las mismas. Es decir que:

Simplemente, tenemos dimensiones tanto a la izquierda como a la derecha de la flecha. Si esto no fuera el caso, no tendríamos un operador lineal, solo una transformación lineal (siempre que se cumpla la definición de transformación lineal). Ejemplos de operadores lineales son la proyección, reflexión y rotación. Los dos últimos también se llaman isomorfismo lineal, lo que significa que la imagen es invertible, y además que es una biyección.
Si un operador lineal tiene la propiedad de preservar la norma, es decir:

el operador se llama un operador ortogonal. El siguiente teorema se aplica a estos:

Un operador ortogonal da lugar a la definición de una matriz ortogonal.

Lo que a su vez conduce al siguiente teorema:

Y finalmente, conectamos todos los teoremas y definiciones con el siguiente: