Teorema rango-nulidad
El teorema rango-nulidad viene en varias variantes, pero incluso si las formulaciones son diferentes, siguen siendo equivalentes. Se trata de las dimensiones de la matriz y las dimensiones de su espacio de columnas y espacio nulo.
(Teorema rango-nulidad para matrices) Si es una matriz , entonces:
donde es la dimensión del espacio de las columnas y es la dimensión del espacio nulo de A. En otras palabras, habría sido posible reformular la misma frase como:
Teorema del rango
El teorema del rango involucra el espacio de las filas y el espacio de las columnas para cada matriz . Se lee de la siguiente manera:
(Teorema del rango) El espacio de las filas y el espacio de las columnas de una matriz tienen las mismas dimensiones.
Es un teorema muy simple y hermoso. Conduce a más conocimientos sobre las matrices, como sigue:
Sea una matriz , entonces:
Una definición que el principiante debe conocer es que una matriz se considera que tiene rango completo si sus vectores columna son linealmente independientes. También se habla del rango completo del espacio de las filas, y la definición es análoga.
Sin razonamiento ni demostraciones más rigurosas, terminamos aquí con las siguientes características:
Sea una matriz . Entonces:
y tienen el mismo espacio nulo y espacio de las filas
y tienen el mismo espacio nulo y espacio de las filas
y tienen el mismo espacio de las columnas
y tienen el mismo espacio de las columnas
, y tienen el mismo rango
Teorema del pivote
El teorema del pivote es lo que motiva el algoritmo para producir una base para el espacio de las columnas. Antes de entrar en el algoritmo o el teorema, necesitamos definir columnas pivote.
Las columnas pivote son los vectores columna que corresponden a aquellos con unos principales en una matriz reducida por filas.
Por ejemplo, los vectores columna 1, 3 y 5 en la siguiente matriz son columnas pivote:
Ahora estamos listos para el teorema del pivote.
(El teorema del pivote) Las columnas pivote en una matriz forman una base para el espacio de las columnas de .
Así, con el teorema, podemos leer que los siguientes vectores forman una base para el espacio de las columnas de la matriz:
Terminamos esta sección con el teorema de factorización columna-fila que proporciona una aplicación práctica de la base para el espacio de las columnas y el espacio de las filas, respectivamente.
(Factorización columna-fila) Si es una matriz no nula con rango , entonces se puede factorizar de la siguiente manera:
donde es una matriz cuyos vectores columna son columnas pivote de la matriz (=los vectores base del espacio de las columnas) y es una matriz cuyos vectores fila son los vectores base del espacio de las filas de .
Ejemplos del teorema anterior:
