Distancia en el espacio
Una necesidad natural es poder calcular distancias en el espacio. Puede ser la distancia entre dos puntos, entre un punto y una línea o entre una línea y un plano. Hay fórmulas de distancia para los diferentes casos, y se presentan aquí.
La distancia siempre se mide entre dos puntos. La fórmula de la distancia es equivalente a crear un vector entre dos puntos y calcular su longitud.
Es tentador memorizar estas fórmulas, pero no se recomienda porque hay una fuerte conexión entre los estudiantes que no aprueban el examen y aquellos que memorizan estas fórmulas en lugar de aprender el oficio.
Distancia entre dos puntos
Por una distancia , siempre nos referimos a la distancia más corta entre dos puntos, que es equivalente a calcular la longitud de un vector que se ha creado a partir de estos dos puntos. La siguiente función se aplica para :
lo cual se puede reconocer de la longitud de un vector. Dado que cada vector es una diferencia relativa en los diferentes términos, es decir, una flecha entre dos puntos, la fórmula para la distancia entre los puntos se puede derivar de la definición de la longitud de un vector.
Lo siguiente se aplica a la fórmula de distancia :
Sean y puntos en el espacio . Entonces:
si y solo si
Distancia entre un punto y una línea
Cubriremos dos métodos para calcular la distancia entre un punto y una línea .
Método 1: Producto vectorial en
Sea:
Tome un punto ubicado en la línea . Con un poco de creatividad, se puede ver que y generan un paralelogramo con la altura . El área es la base multiplicada por la altura, que también es igual a la longitud del producto vectorial . Por lo tanto, podemos dividir este último por la norma de la base (el vector ) para obtener la altura .
La fórmula anterior solo funciona para porque el producto vectorial solo está definido entonces.
Método 2: Proyección
Sea:
La distancia se puede encontrar por proyección, una relación que se ilustra mediante una simple suma vectorial:
Por lo tanto, se aplica que:
Método 3: Producto escalar
Considere la distancia más corta entre el punto y el punto en la línea cuyo vector forma un ángulo recto con la línea. Si tanto como son puntos conocidos, el cálculo de la longitud es simple, a saber:
Recuerde que , lo que significa que el vector es ortogonal a la línea . Encontramos el punto desconocido estableciendo el requisito correspondiente para , es decir, la ecuación:
Dado que los dos vectores forman un ángulo recto, el producto escalar se convierte en 0. El punto es desconocido con varias coordenadas, lo que resulta en varias incógnitas (una por coordenada) mientras que solo tenemos una ecuación. Sin embargo, el punto se puede expresar utilizando la forma paramétrica para para algún valor de parámetro desconocido :
donde y son conocidos. Hacemos la siguiente sustitución:
Se resuelve la ecuación para el valor aún desconocido, a saber, , ya que el vector forma un ángulo recto con . Cuando se resuelva, inserte en la forma paramétrica y obtenga el punto deseado . Entonces tenemos dos puntos conocidos, y , y la distancia entre ellos es la norma de su vector:
Método 4: Crear un plano
Con un poco de creatividad, podemos construir el plano que contiene el punto y tiene un vector normal paralelo al vector de dirección para . Desde allí, se puede determinar el punto de intersección entre y , que también será el punto más cercano en la línea a . El procedimiento es el siguiente:
Crear la ecuación:
para el plano con vector normal = vector de dirección para = .
La constante se obtiene insertando el punto en la ecuación del plano.
Insertar la forma paramétrica para en el plano . Resolver para el parámetro (tenemos una ecuación y una variable).
Deje que sea el parámetro que representa el punto de intersección . Inserte en la forma paramétrica para y obtenga .
Calcular la distancia:
Distancia entre un punto y un plano
Sea un plano y un punto en el espacio como sigue:
Cree la línea que pasa por el punto y golpea el plano en ángulo recto. Por lo tanto, el vector de dirección se convierte en el vector normal del plano (que leemos de la ecuación del plano). Entonces obtenemos:
Estamos buscando el punto de intersección entre la línea y el plano . La forma paramétrica para expresa todos los puntos a lo largo de la línea, y podemos expresar cada uno de estos puntos de la siguiente manera:
Nuestro diseño de garantiza un punto de intersección precisamente porque el vector de dirección es el vector normal del plano. Por lo tanto, ponemos la expresión anterior en la ecuación del plano:
La ecuación anterior se resuelve fácilmente porque solo es desconocido. Anotemos la solución como :
lo que también devuelve el punto de intersección deseado cuando se inserta en la forma paramétrica para . El punto por lo tanto tiene las siguientes coordenadas:
Ahora tanto como son conocidos, y por lo tanto la distancia se calcula fácilmente creando un vector y calculando la norma:
Lo que lleva a la fórmula para la distancia entre un punto y un plano. Nuevamente - se recomienda recordar el método que lleva a la fórmula en lugar de recordar la fórmula de memoria!
Recta
Una línea recta tiene las siguientes propiedades:
tiene longitud infinita y el ancho de un punto
tiene una posición fija en el espacio, a diferencia de los vectores
se escribe en forma paramétrica en todas las dimensiones y solo se puede escribir de manera unívoca como una ecuación en dos dimensiones
La forma paramétrica de la recta
La forma paramétrica para la recta , o , se escribe de la siguiente manera:
donde:
es un punto conocido en la recta que determina la posición de ella
es el vector de dirección de la recta que determina la dirección de la línea
es un parámetro y asume cualquier valor entre y
La forma paramétrica funciona porque la expresión es la suma del vector local y el vector , cuyo resultado es exactamente el punto . La imagen muestra que independientemente del valor de , el resultado es un punto en la línea . Note que necesitamos conocer dos puntos en la recta para crear el vector de dirección .
Ecuación de la recta en dos dimensiones
La ecuación estándar de la recta es un caso especial porque solo se puede expresar en :
Para construir la ecuación, asumimos que el producto escalar de dos vectores perpendiculares es 0, en este caso el vector normal y el vector de dirección :
Donde las constantes , y son:
Derivación
Ahora derivamos cómo se determinan las constantes , y para la línea ;
es el vector normal a
es un punto dado en
es un punto arbitrario en
La derivación es la siguiente:
Plano
Un plano tiene las siguientes características:
es una superficie plana, infinita y bidimensional
tiene una posición fija en el espacio
se puede expresar tanto en forma paramétrica como escrita como una ecuación
La forma paramétrica de un plano
La forma paramétrica de un plano es:
donde:
es un punto dado en el plano
y son dos vectores diferentes que yacen en el plano
son parámetros y asumen cualquier valor entre y
Tres puntos conocidos en el plano son suficientes para expresar la forma paramétrica. Sean , y tres puntos conocidos. Podemos construir los vectores de la siguiente manera:
La ecuación de un plano
La ecuación estándar para un plano en es:
donde las constantes son:
La explicación detrás de las definiciones de las constantes es:
es el vector normal a
es un punto conocido en
es un punto arbitrario en
La base para la construcción de la ecuación del plano es que todos los vectores en el plano tienen un ángulo recto con el vector normal del plano, haciendo que el producto escalar entre ellos sea 0. Comenzamos con y derivamos de ello:
La forma generalizada de la ecuación del plano en es por lo tanto:
Recuerde que un plano siempre es bidimensional, sin importar en qué espacio se encuentre. Es un error común entre los principiantes pensar que la ecuación del plano debe tener exactamente dos variables, por ejemplo, y . Pero como puede ver arriba, el plano puede tener varias variables, hasta . Las dimensiones del plano siguen siendo dos, por lo que se extiende en el espacio a lo largo de dos direcciones (recuerde la forma paramétrica del plano). Para resolver la mezcla del número de variables y dimensiones, tenemos las siguientes tres reglas para memorizar:
Un punto tiene 0 direcciones y 0 dimensiones
Una línea tiene 1 dirección y 1 dimensión
Un plano tiene 2 direcciones y 2 dimensiones
Intersección
Interpretación algebraica y geométrica
Ejemplos de una intersección y su interpretación geométrica pueden ser el punto donde se cruzan dos líneas o la línea donde se intersectan dos planos.
Puramente en términos algebraicos, tratamos con intersecciones cuando un sistema de ecuaciones tiene una solución, es decir, qué punto o puntos tienen en común las ecuaciones en el sistema. Para cada sistema de ecuaciones, siempre se aplica uno, y solo uno, de los siguientes tres casos:
una solución única
infinitas soluciones
ninguna solución
Aquí visualizamos tres ejemplos, uno para cada uno de los tres casos de soluciones de un sistema de ecuaciones en : solución única (un punto), infinitas soluciones (una línea) y ninguna solución.
Intersección de líneas en
Para encontrar la intersección de dos o más líneas en cuando se dan las ecuaciones, es más fácil configurar un sistema de ecuaciones.
La solución , si la hay, es la intersección deseada. Encontramos la solución con la ayuda de la eliminación de Gauss-Jordan.
Intersección de líneas en
Para encontrar la intersección de dos líneas, y , en , es más fácil establecer sus representaciones paramétricas iguales entre sí:
y bloquear uno de los parámetros, o , estableciendo, por ejemplo, . Luego queda lo siguiente:
Ahora hay una ecuación y una variable, a saber, el parámetro . Si hay una solución, se obtiene el punto de intersección de la forma paramétrica para cuando . Si tienes más líneas, repite el procedimiento para todas las líneas.
Intersección entre planos
Para encontrar la intersección entre planos, aquí mostramos un ejemplo para los tres planos , y en . Configuramos un sistema de ecuaciones:
Usando la eliminación de Gauss-Jordan, resolvemos el sistema de ecuaciones. Uno, y solo uno, de los siguientes tres casos será entonces cierto:
solución única - la intersección es un punto
infinitas soluciones - la intersección es una línea
ninguna solución - los planos no se intersectan
Intersección entre una línea y un plano
Para encontrar la intersección entre la línea y el plano en , ponemos la forma paramétrica de la línea en la ecuación del plano. Sea:
Cada punto en la línea puede ser expresado usando su forma paramétrica como:
y dado que estamos buscando un punto común, podemos asumir que tal punto existe e insertar la expresión en la ecuación para :
Dado que está definido, es decir, el denominador anterior no es cero, el valor se introduce en la forma paramétrica para para obtener el punto de intersección.
Forma paramétrica
La parametrización es el proceso de crear una forma paramétrica que describe implícitamente una línea, curva o superficie (también llamada variedad). La idea es que en lugar de expresar explícitamente una ecuación con variables, se utiliza un parámetro que puede asumir cualquier valor entre y . Compare estas dos expresiones:
La expresión izquierda es la forma paramétrica que describe la misma línea que la ecuación (la expresión a la derecha). Cada valor para expresa implícitamente un punto único en la línea, mientras que la ecuación describe explícitamente el equilibrio entre cada coordenada y .
