Núcleo
El núcleo de una aplicación lineal se refiere a todos los vectores que se mapean al vector cero y a menudo se nota como ker. Una explicación alternativa es que el núcleo es el conjunto de soluciones del sistema homogéneo de ecuaciones . El núcleo también suele llamarse espacio nulo, siendo ambos términos prácticamente sinónimos. Sin embargo, si le preguntaras a un matemático, hay un riesgo de que te contradiga diciendo que el núcleo y el espacio nulo no son conceptos equivalentes, pero son esencialmente el mismo concepto porque comparten la misma definición. La diferencia semántica es que el núcleo está destinado a una transformación lineal, mientras que el espacio nulo está destinado a la matriz de transformación para una transformación lineal. En términos prácticos, en un curso básico de álgebra lineal, ambas expresiones suelen tratarse como equivalentes. En general se le llama núcleo o kernel a los dos conceptos, y la diferencia ocurre más a menudo en literatura inglesa.
Si volvemos a la definición del núcleo, podemos referirnos algebraicamente a la siguiente definición.
Sea:
una aplicación lineal con el dominio y el codominio . Entonces llamamos al conjunto de todos los vectores que satisfacen la siguiente ecuación a :
como el núcleo, que puede describirse como un conjunto de vectores en relación con la transformación lineal como:
La definición visual del núcleo se encuentra en la siguiente imagen, notada como ker:
El núcleo de tres transformaciones
Tomemos las tres transformaciones lineales de proyección, reflexión y rotación como ejemplos y enumeremos sus núcleos:
Proyección - el conjunto de todos los vectores que son ortogonales al objeto al que se refiere la proyección
Reflexión - solo el vector cero
Rotación - solo el vector cero
Imagen
La imagen de una aplicación lineal se refiere a todos los vectores en el codominio que se mapean desde al menos un vector en el dominio. Otra definición es que la imagen de una aplicación lineal se refiere al conjunto de todas sus posibles transformaciones. Una tercera formulación puede ser que la imagen de una aplicación lineal es todas las combinaciones lineales posibles de las columnas de su matriz de aplicación.
No es la intención confundir la definición de la imagen con tres ejemplos diferentes. El propósito es ofrecer más formulaciones, para que la probabilidad de que una de ellas sea percibida como comprensible para el principiante sea más alta. Sin embargo, antes del examen, los tres ejemplos de definición deben ser percibidos como comprensibles. (Nota que si tenemos una función , entonces el imagen de en su dominio por , , se le llama el imagen de por , también.)
La imagen y el rango son expresiones inequívocamente equivalentes, mientras que el espacio de las columnas suele considerarse prácticamente como una expresión equivalente. Sin embargo, un matemático puede argumentar que el espacio de las columnas es esencialmente el mismo concepto que la imagen / rango porque las definiciones son análogas, pero la diferencia semántica es que la imagen / rango está destinado a una aplicación lineal, mientras que el espacio de las columnas está destinado a la matriz de transformación de una aplicación lineal. En términos prácticos, en un curso básico de álgebra lineal, las tres expresiones suelen tratarse como equivalentes.
La definición de la imagen / rango se puede definir algebraicamente como:
Sea:
un mapeo lineal con dominio y codominio . Entonces llamamos al conjunto de todos los vectores que son solución a la ecuación:
la imagen, transformación y rango de . También se puede describir como un conjunto de vectores en relación con la transformación lineal como:
La definición visual de la imagen se puede encontrar en la siguiente imagen, anotada como Im:
La imagen para tres transformaciones
Tomemos las tres transformaciones lineales proyección, reflexión y rotación como ejemplos y enumeremos sus imágenes:
Proyección - el subespacio que es el objeto al que se refiere la proyección.
Reflexión - todo el espacio
Rotación - todo el espacio
