Espacios vectoriales generales

Este es el comienzo del final, al menos para un curso convencional de álgebra lineal. Hemos estudiado vectores, matrices y espacios. Muchas personas piensan que estos conceptos son bastante abstractos, pero todo es relativo.

Los matemáticos a menudo les gusta distinguir entre las categorías de matemáticas y cálculos, donde el álgebra lineal pertenece a la última. Esto puede sonar provocativo, especialmente después de un arduo trabajo para aprender el contenido, pero la intención es puramente académica. Pretendemos que este apunte de clase sea útil para que el estudiante aprecie las diferencias, y esperamos inspirarles a aprender más sobre el mundo del álgebra abstracta.

Las matemáticas son un esfuerzo lógico, al igual que los estudios de filosofía y derecho. Requiere de pensamiento analítico y abstracto, porque el objetivo es probar perspectivas, y ver si las relaciones encontradas se pueden generalizar. A veces, un descubrimiento es simplemente la punta práctica del iceberg, donde la verdad bajo la superficie, puede demostrarse que es mucho mayor.

Generalizamos el concepto de espacio vectorial especificando los requisitos que permiten que un conjunto general de objetos con dos operaciones sea visto como un espacio vectorial. Ahora tenemos una asociación práctica con la adición, escalares, multiplicación y vectores.

El proceso de generalización no significa que agregamos conocimiento al contexto, significa por el contrario que sustraemos conocimiento aprendido. Comenzamos con este breve resumen de las propiedades fundamentales de los subespacios:

Ahora damos el siguiente paso definiendo lo que entendemos por adición y multiplicación escalar (recuerda - generalizamos conceptos). Intenta leer las siguientes secciones por primera vez.

Sea un conjunto no vacío de objetos, para el cual introducimos dos operaciones:

Nótese que reutilizamos los términos adición y multiplicación, pero estamos abiertos a cómo se definen las operaciones. Llamamos un espacio vectorial y llamamos a los objetos , y vectores si satisfacen los siguientes diez axiomas llamados los axiomas del espacio vectorial:

Pensar de manera abstracta es el proceso de dejar de lado condiciones delimitantes e intentar pensar de manera minimalista y nueva. Si las afirmaciones anteriores no invitaron a un desafío, tal vez la siguiente afirmación pueda hacerlo:

Mira la primera propiedad del teorema anterior:

La primera propiedad del teorema anterior es tan intuitiva que hace difícil sugerir cualquier otra cosa, ¿verdad? Seguramente un escalar debería resultar en el vector cero , cuando se multiplica con cualquier vector ? Bueno, por supuesto que obtienes ese resultado con la definición convencional de multiplicación escalar, que significa que multiplicamos el escalar por cada componente del vector . Pero ¿y si dejamos la definición precisa de la operación y abordamos esto con una mentalidad abstracta? Digamos que no sabemos cómo funciona la operación de multiplicación escalar. Lo que sí sabemos son los diez axiomas originales del espacio vectorial. Aquí hay una demostración de seis pasos de que solo está respaldada por los diez axiomas del espacio vectorial:

Al lado derecho de cada paso tenemos , refiriéndonos a cuál de los diez axiomas se ha utilizado para respaldar el resultado. El paso se refiere a la propiedad de los números reales. Vea cuán abstracto es cada paso en la demostración y cómo no dividimos los vectores en componentes. Por lo tanto, la demostración se aplica a todos los objetos que puedan llamarse vectores para todos los conjuntos llamados espacio vectorial. Resumimos aquí las tres demostracións para las tres afirmaciones en el teorema anterior:

donde la última línea de la última demostración se refiere al resultado de la primera demostración. Este es un concepto hermoso, utilizado tanto en matemáticas como en filosofía, que reutilizamos nuestros resultados de razonamientos previos para probar nuevos. Ahora avanzamos con tres ejemplos de espacios vectoriales, a saber, espacios de funciones, espacios polinomiales y espacios de matrices.

Un espacio vectorial comúnmente visitado en estudios superiores de matemáticas son los espacios de funciones, y especialmente los de valores reales. Pasemos de nuestra visión convencional de un vector de modo que:

y pasemos a considerar cada componente de para representar un valor de función. Digamos que tenemos

lo que nos da:

En el ejemplo anterior, nos referimos al vector como una 3-tupla, lo que significa una secuencia finita de tres. En general, estamos hablando de n-tuplas. Si graficáramos el vector , tendríamos tres puntos:

en un gráfico bidimensional con los ejes como eje horizontal y como el eje vertical.

Pero, estamos acostumbrados desde el cálculo a trazar gráficos en todo el tablero con números reales, lo que significa que podemos llevarlo al siguiente nivel y considerar:

Podemos extender nuestra noción de un vector con valor de función para cubrir cada número real, dándonos el vector con infinitamente muchos componentes, uno para cada número real:

Así tenemos que y que la componente para ese vector es . Bastante genial, ¿eh? Aquí denotamos el conjunto de funciones con valores reales que están definidas para todos los valores reales de por , y acordemos que dos funciones pertenecientes a este conjunto, y , se consideran iguales si, y solo si,

donde el signo significa "para todos". Entonces, ¿cómo deberíamos definir los operadores adición y multiplicación escalar? esto se mantiene típicamente simple y se define convencionalmente como:

Tal espacio de funciones , con las operaciones anteriores para adición y multiplicación escalar, se define como un espacio vectorial porque satisface todos los axiomas del espacio vectorial.

Partiendo de los espacios de funciones, podemos dejar que sea un entero no negativo y que sea el conjunto de todas las funciones de valor real en la forma:

donde son números reales. Esto significa que es el conjunto de todos los polinomios de grado o menos. Tenemos que , con las mismas definiciones para la adición y la multiplicación escalar que para , es un espacio vectorial. Más aún, es un subespacio de . Para demostrar esto necesitamos mostrar que está cerrado bajo adición y multiplicación escalar. Digamos que y están en :

Por lo tanto, tenemos para la multiplicación escalar:

En cuanto a la operación de adición tenemos que:

lo que demuestra que y ambos son polinomios de grado o menos, por lo tanto, pertenecen al espacio polinomial .

El espacio polinomial es interesante porque podemos definir una hermosa base para este espacio vectorial. Recordamos que la definición de una base para un espacio vectorial es que la base debe ser linealmente independiente y generar todo el espacio. Esto significa que deberíamos tener una combinación lineal única para cada uno de los polinomios en . Hay varias bases que sirven para este propósito, aquí viene la trivial:

¿Ves cómo se vería una combinación lineal de esta base? Para cada tenemos un conjunto único de coordenadas tal que:

¿No es esto hermoso?

Otra variante fascinante de los espacios vectoriales son los espacios de matrices. Claro, puede sonar contraintuitivo considerar las matrices como vectores. Pero recuerda - una generalización no es añadir información, es sustraer las limitaciones de lo que ya se conoce.

Entonces, digamos que es el espacio de matrices con todas las matrices con números reales. Esto significa, que los vectores pertenecen a este espacio de matrices, que reconocemos, según nuestra antigua definición, como un vector. Dejamos que las operaciones de adición y multiplicación escalar para matrices sean las mismas a las que estamos acostumbrados a ver. Entonces tenemos que este espacio está cerrado bajo adición y multiplicación escalar, porque las dimensiones de los vectores no cambian. Tomemos un ejemplo más concreto y examinemos el siguiente espacio de matrices de matrices . ¿Cómo sería una base adecuada? De nuevo, hay un número infinito de bases para elegir, pero lo mantenemos simple. Tenemos que

forman una base para , ya que para cada en este espacio vectorial tenemos que:

Por lo tanto, forma una base para .

Ahora es el momento de un desafío intelectual. Hemos dado varios ejemplos de espacios vectoriales, pero todos han tenido las definiciones convencionales de adición y multiplicación escalar. Ahora introduciremos dos nuevas operaciones, mientras también consideramos los números reales como vectores.

Consideremos como el conjunto de todos los números reales positivos, a los cuales llamamos vectores y denotamos con la siguiente notación , y . Para cualquier número real y cualquier vector y en definimos las operaciones y como nuestra adición y multiplicación escalar respectivamente, según lo siguiente:

Tanto como son números positivos, por lo que pertenecen al espacio y los resultados se consideran por lo tanto como vectores de ese espacio. Este es un buen ejercicio de generalización, donde restamos lo que sabemos y consideramos algo más. ¿Pero tiene sentido? ¿se cumplen los diez axiomas del espacio vectorial para este conjunto con las operaciones anteriores y ? Si es así, es un espacio vectorial. Confirmamos los axiomas a continuación. Es una lista bastante sólida, pero no hay atajos para confirmar cada axioma. Tómese su tiempo y lea con atención.

Una nota para el axioma 7: la definición convencional de adición se aplica para escalares entre sí, ya que no se consideran como vectores de . Sin embargo, un escalar multiplicado por un vector de debe seguir las nuevas definiciones.