Eigenvalores y eigenvectores

Los vectores propios y los valores propios son generalmente algo difícil de superar para el principiante.

Es una lástima porque no es la sección más complicada del álgebra lineal, sino que es en esta sección donde se descubren las carencias del conocimiento recién adquirido del principiante.

Si el principiante ha adquirido una buena comprensión básica de las secciones anteriores, será una experiencia agradable.

Comencemos con la definición de un punto fijo.

Note que el punto fijo está relacionado con la matriz, según la definición: "Un punto fijo de ...".
Cada matriz tiene al menos un punto fijo, a saber, , que se llama el punto fijo trivial. El camino a seguir para encontrar todos los puntos fijos de es:

donde la última línea es un sistema lineal homogéneo de ecuaciones, algo que debería ser fácil de resolver para el principiante en este punto.

Recuerde los tres resultados: una solución única, infinitamente muchas soluciones y ninguna solución. Si juntamos esto con los conocimientos sobre el determinante, esto conduce al siguiente teorema:

Ahora estamos listos para la definición de un vector propio, que es una relajación de la definición de un punto fijo (relajación aquí significa que la definición se vuelve menos estricta y más abierta).

En resumen, se puede traducir lo anterior a:

El vector propio es el vector que, después de la multiplicación con la matriz , retiene su dirección. El valor propio es el factor de escala que afecta la longitud y orientación del vector propio después de la multiplicación.

Un valor propio de una matriz de es el factor de escala asociado con cada vector propio, o vectores propios, y satisface lo siguiente:

Una descripción práctica es que un vector propio es un vector que no cambia de dirección cuando se multiplica por la matriz , y un valor propio es su factor de escala que ajusta su longitud.

Para una introducción más profunda, se recomienda al principiante leer sobre vectores propios. El siguiente teorema es útil para entender:

Para encontrar los vectores propios y valores propios de una matriz de , se hace lo siguiente:

La última fila tiene una incógnita incrustada en la matriz , a saber, , por lo que nuestro método habitual de solución de Gauss-Jordan se vuelve complicado.

Por lo tanto, recurrimos a nuestros conocimientos sobre el determinante: estamos buscando soluciones no triviales para el sistema anterior, lo que requiere que el determinante de sea 0.

Si no fuera cero, significaría que el sistema tiene una solución única, que entonces sería solo la solución trivial . Por lo tanto, elegimos asumir que hay soluciones no triviales, y así el determinante debería ser 0.

La ecuación anterior se llama la ecuación característica, y podemos resolverla fácilmente para los valores de . Mostramos un ejemplo para una matriz de . Sea:

Entonces tenemos:

Donde la última línea se llama el polinomio característico de la matriz. Vemos fácilmente que el nuestro tiene una raíz doble de y una raíz única de , y así tenemos dos valores propios, y .

Para encontrar los vectores propios correspondientes de cada valor propio, insertamos los valores propios uno a la vez en la ecuación:

Comenzamos con el primer valor propio.

Inmediatamente obtenemos una fila cero pero hacemos una operación elemental de fila antes de establecer parámetros.

Ahora tenemos dos filas cero. Recuerde que se espera al menos una fila cero, porque nuestra suposición básica es que el determinante es cero. Establecemos dos parámetros.

y así tenemos un espacio de solución que es un plano, a saber:

Dado que el espacio de solución, también llamado espacio propio, es un plano, estamos buscando dos vectores propios.

Seleccionamos el primer vector propio con y el segundo vector propio con . Todos los valores para y funcionan bien siempre y cuando y no sean paralelos. Obtenemos:

Continuamos con el segundo valor propio y obtenemos:

¡Inmediatamente obtenemos una fila cero! Introducimos un parámetro y continuamos resolviendo con el método Gauss-Jordan:

El espacio solución es, por lo tanto, una línea:

Elegimos y tenemos el tercer vector propio.

Lo cual concluye la respuesta, pero resumimos todos los valores propios y vectores propios aquí:

Sea definida como:

con los valores propios y vectores propios correspondientes:

Si es un valor propio de , significa que la siguiente ecuación tiene soluciones no triviales como espacios solución:

a los que llamamos espacios propios de para los valores propios correspondientes. Encontramos estos espacios propios en el paso antes de seleccionar vectores propios, así que aquí mostramos cómo definimos los espacios propios cuando tenemos los vectores propios dados.

Dado que tenemos dos valores propios, tenemos dos espacios propios (número de valores propios = número de espacios propios). Los notamos como hemos hecho antes para los espacios solución ordinarios:

Esto nos lleva a introducir dos definiciones adicionales, multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica.