Diagonalización
Introducción
La diagonalización es un método importante y básico con aplicaciones en varias áreas científicas, como matemáticas, análisis estadístico y física. La practicidad puede ser difícil de asimilar directamente, pero un par de ejemplos son: encontrar las interacciones entre diferentes variables explicativas en estadísticas y modularizar las energías en juego en la mecánica cuántica.
En resumen, las matemáticas tratan sobre el hecho de que ciertas matrices cuadradas se pueden dividir en componentes como un producto de dos matrices, y de tal manera que:
donde es una matriz ortogonal, es su inversa y es una matriz diagonal. Si observamos más de cerca estas dos matrices, vemos que:
donde las columnas de son vectores propios de y los elementos de son los valores propios correspondientes de .
Definición
Una matriz cuadrada -matrix es diagonalizable si, y solo si, tiene vectores propios linealmente independientes. Otra forma de decirlo es que su espacio propio necesita generar todo .
La matriz es diagonalizable si, y solo si, tiene n vectores propios linealmente independientes
Para entender una formulación más técnica de los requisitos para la diagonalización, se necesita conocer los términos multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica. Estas dos propiedades están vinculadas a cada valor propio y se definen como:
La multiplicidad algebraica de un valor propio corresponde a su grado de raíz del polinomio característico .
La multiplicidad geométrica de un valor propio corresponde a la dimensión de su espacio propio.
La conexión entre estos dos términos es que la multiplicidad algebraica siempre es mayor o igual que la multiplicidad geométrica.
Multiplicidad algebraica multiplicidad geométrica
Estos dos términos dictan la posibilidad de que sea diagonalizable. Una forma de formular este requisito es que la suma de las multiplicidades geométricas de sus valores propios debe ser igual a . Otra forma de formular esto es que la suma de las multiplicidades algebraicas de sus valores propios debe ser igual a la suma de su multiplicidad geométrica.
Resumimos utilizando el siguiente teorema:
Diagonalizabilidad Sea una matriz cuadrada -matrix. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
es diagonalizable
tiene vectores propios linealmente independientes
tiene una base que consiste en vectores propios de
La suma de las multiplicidades geométricas de los valores propios de es igual a
La multiplicidad geométrica de cada valor propio de es igual a su multiplicidad algebraica
Ejemplo de una matriz diagonalizable
Sea:
Para averiguar si la matriz es diagonalizable, necesitamos saber si la suma de la multiplicidad geométrica es 3, ya que la matriz es . Por lo tanto, primero necesitamos determinar los valores propios de la matriz, lo cual se hace mediante la ecuación:
lo que nos lleva al polinomio característico:
Podemos ver que tenemos dos valores propios, y , respectivamente. Además, vemos que es una raíz simple y es una raíz doble. Por lo tanto, según la definición de multiplicidad algebraica, tenemos:
tiene multiplicidad algebraica 1
tiene multiplicidad algebraica 2
Si calculamos el conjunto de soluciones para cada valor propio, tenemos:
De lo anterior vemos que las dimensiones de los valores propios son 1 y 2, respectivamente. Así, afirmamos las multiplicidades geométricas de los valores propios:
tiene multiplicidad geométrica 1
tiene multiplicidad geométrica 2
Ahora podemos concluir que la suma de la multiplicidad algebraica de los valores propios corresponde a la suma de la multiplicidad geométrica de los valores propios (ambas son 3). Por lo tanto, la matriz es diagonalizable. Para diagonalizar necesitamos determinar las matrices y , y para hacerlo necesitamos tres vectores propios linealmente independientes que puedan formar la base de cada espacio propio. Elegimos:
y el resultado de nuestra diagonalización será:
Ejemplo de una matriz no diagonalizable
Let:
Su polinomio característico entonces se convierte en:
lo que nos da la oportunidad de encontrar los siguientes valores propios y sus multiplicidades algebraicas:
con multiplicidad algebraica 1
con multiplicidad algebraica 2
Con estos valores propios, producimos los respectivos espacios propios, de manera análoga al ejemplo anterior. Nos da:
Ya que cada espacio propio tiene dimensión uno, podemos resumir las multiplicidades geométricas de los valores propios:
con multiplicidad geométrica 1
con multiplicidad geométrica 1
La matriz en consecuencia no es diagonalizable porque la suma de las multiplicidades geométricas de sus valores propios es 2, lo cual es menor que la suma de las multiplicidades algebraicas de sus valores propios, que es 3.
