Las composiciones de transformaciones lineales se tratan de tratar múltiples transformaciones lineales en secuencia. Por ejemplo, digamos que $T$, $R$ y $S$ son transformaciones lineales. Una composición es entonces, por ejemplo, la salida $y$ del vector $x$ para
        
      $$T \circ R \circ S(x) = y$$

Composiciones de transformaciones lineales

Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes (por ejemplo, $\vec{v_1}, \ldots \vec{v}_n$) que abarcan un espacio vectorial o subespacio. Eso significa que cualquier vector $\vec{x}$ perteneciente a ese espacio puede expresarse como una combinación lineal de la base para un conjunto único de constantes $k_1, \ldots k_n$, como:
      $$
      \vec{x} = k_1\vec{v}_1 + \ldots + k_n\vec{v}_n
      $$
      La dimensión del espacio vectorial corresponde al número de vectores necesarios para formar una base (la base no es única). En este ejemplo, $n$.

Base y dimensión

El espacio nulo (o comúnmente llamado núcleo) y el espacio de columnas (o comúnmente llamado imagen) son espacios relacionados con una matriz $A$ en particular. 
            
      El espacio nulo es simplemente el nombre del espacio de soluciones para la ecuación homogénea $A\vec{x} = \vec{0}$. 
      
      El espacio de columnas (o comúnmente llamado imagen) es el rango de la transformación lineal con la matriz estándar $A$, lo que significa todos los posibles vectores $\vec{y}$ que pueden ser mapeados mediante una multiplicación por $A$, de modo que $A\vec{x} = \vec{y}$.

Espacio nulo y espacio de columnas

El teorema de la dimensión se aplica a una matriz y su rango (dimensión del espacio de columnas) y nulidad (dimensión del espacio nulo). Sea $A$ una matriz de $m \times n$, entonces según el teorema de la dimensión tenemos que:
      $$
      \operatorname{rank}(A) = \operatorname{nullity}(A) = n
      $$

Teorema de la dimensión

Por proyección, se hace referencia típicamente a la proyección ortogonal de un vector sobre otro. El resultado es la contribución representativa del primer vector a lo largo del otro vector proyectado. Imagina tener el sol en el cenit, proyectando una sombra del primer vector estrictamente hacia abajo (ortogonalmente) sobre el segundo vector. Esa sombra es entonces la proyección ortogonal del primer vector sobre el segundo vector.

Teorema de la proyección

Mínimos cuadrados es un método aplicado para el análisis de datos y la estadística. Se utiliza para describir la relación mediante una serie de observaciones y sus variables explicativas. Digamos que tienes una serie de observaciones (xn,yn), de las cuales te gustaría modelar la relación mediante una ecuación lineal
      $$c_1x + c_2 = y$$
      donde $c_1$ y $c_2$ son constantes que nos gustaría decidir para obtener el ajuste óptimo de nuestra línea a los datos. Esto se hace minimizando la suma de todos los errores, es decir, la distancia a la línea y cada uno de los puntos de datos observados. Esto se calcula fácilmente, primero transformando el sistema de ecuaciones lineales a la ecuación matricial
      $$Ac = y$$
      y luego multiplicando por la traspuesta de la matriz A por la izquierda en ambos lados
      $$A^TAc = A^Ty$$
      lo que resulta en un sistema de matrices cuadradas que tiene una solución única. La solución es el vector c, que consiste en nuestras constantes buscadas $c_1$ y $c_2$.

Mínimos cuadrados

Gram-Schmidt es un algoritmo para encontrar una base ortogonal a un subespacio dado. La entrada al algoritmo es una base conocida pero no ortogonal, y al aplicar el teorema de la proyección en una secuencia, encontrará los vectores de la base uno por uno.

Gram-Schmidt

Núcleo e imagen son subespacios relacionados con una transformación lineal L representada por la matriz estándar A. El núcleo se refiere al espacio de soluciones del sistema homogéneo de ecuaciones lineales que la matriz A representa, es decir, las soluciones a
      
      $$Ax = 0$$
      
      La imagen se refiere al subespacio de todos los vectores resultantes y de la multiplicación de la matriz A con todos los posibles vectores x.
     
      $$Ax = y$$

Núcleo e imagen

¿Qué significan las transformaciones lineales?

Todas las multiplicaciones de matrices son transformaciones lineales. En el caso general, una transformación podría verse como una función, o una caja negra, que para cualquier entrada dada tiene una salida. La definición para que la transformación sea lineal es que la operación sea consistente para dos elementos de entrada, en nuestro caso, dos vectores. Sea L una transformación, x e y vectores, y c y k escalares. Entonces, L es una transformación lineal si, y solo si,
         
      $$L(cx + ky) = cL(x) + kL(y)$$

¿Para qué se utilizan las transformaciones lineales en la práctica?

¿Cuáles son los requisitos para las transformaciones lineales?

Transformaciones lineales

Un vector en física representa una fuerza con una dirección, magnitud y origen dados. Pero en álgebra lineal, un vector tiene las dos primeras propiedades pero carece de un origen. Por lo tanto, puede moverse si es necesario.

Vectores

La ecuación de una recta solo está definida para dos dimensiones. Sin embargo, eso no impide que existan en dimensiones superiores, donde las definimos en forma paramétrica o vectorial.

Rectas y planos en el espacio

Agrupar varias ecuaciones crea un sistema de ecuaciones, y una solución para el sistema debe resolver cada una de las ecuaciones del sistema. Se dice que el sistema es lineal si cada ecuación tiene la forma:
      $$
      a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n
      $$

Sistemas lineales de ecuaciones

¿Cómo funciona el método de Gauss-Jordan?

Gauss-Jordan es un método para resolver un sistema lineal de ecuaciones. Cada sistema cae en uno de tres casos: solución única, sin soluciones o infinitas soluciones.

¿Por qué se llama método de Gauss-Jordan?

¿Cómo se utiliza la eliminación gaussiana?

Gauss-Jordan

La aritmética de matrices está definida para la suma, resta y multiplicación. Para las dos primeras, las matrices deben tener dimensiones iguales y las operaciones son conmutativas. La multiplicación, sin embargo, no es conmutativa y solo está definida cuando el número de filas de la matriz izquierda es igual al número de columnas de la matriz derecha.

Aritmética de matrices

La inversa de una matriz es otra matriz, y el producto de la matriz y su inversa es la matriz identidad.

Matrices inversas

Si un vector puede expresarse como una combinación lineal de otros vectores, el conjunto se considera linealmente dependiente. Si no, los vectores se consideran linealmente independientes.

Dependencia lineal

Un espacio de soluciones es el espacio vectorial que contiene todas las soluciones de un sistema dado. Sigue las propiedades de los espacios vectoriales, por lo que si $\vec{x}_1$ y $\vec{x}_2$ son soluciones a 
      $$A\vec{x} = \vec{b}$$ 
      entonces tenemos que 
      $$k_1\vec{x}_1 + k_2\vec{x}_2$$ 
      es una solución para cualquier valor de $k_1,k_2$.

Espacio de soluciones

Tres tipos de matrices de forma especial son matrices diagonales ($D$), matrices triangulares ($T$) y matrices simétricas ($S$) y matrices antisimétricas ($S_k$).
      $$
      \begin{aligned}
          D &= \left[\begin{array}{cc}
               d_1 & 0  \\
               0 & d_2 
          \end{array}\right]
          ,\quad
          T &&= \left[\begin{array}{cr}
               t_1 & \phantom{-}0  \\
               t_2 & t_3 
          \end{array}\right]
          \\
          S &= \left[\begin{array}{cc}
               s_1 & s_2  \\
               s_2 & s_3 
          \end{array}\right]
          ,\quad
          S_k &&= \left[\begin{array}{cr}
               s_1 & -s_2  \\
               s_2 & s_3 
          \end{array}\right]
      \end{aligned}
      $$ 

Matrices de forma especial

¿Cuál es la definición del determinante?

El determinante es una representación escalar de una matriz, definido por un cálculo específico. La interpretación geométrica es que es un factor de escala para la transformación lineal que representa la matriz. También habla sobre si el sistema de ecuaciones lineales que representa la matriz tiene o no una solución única.

¿Por qué se llama regla de Cramer?

¿Cómo encontrar el determinante de una matriz cuadrada?

Determinante

El producto cruzado es un cálculo entre dos vectores en tres dimensiones, y el resultado es un tercer vector único y ortogonal a los dos primeros. La longitud del vector resultante es igual al área del paralelogramo que los dos vectores abarcan. El producto cruzado también se puede utilizar para calcular el volumen de un paralelepípedo, como parte del cálculo llamado producto triple. Dado el volumen que abarca los tres vectores, se calcula un producto cruzado entre dos de ellos y luego se realiza un producto puntual entre el vector resultante y el tercer vector.

Producto cruzado, área y volumen

¿Qué significa un eigenvector?

Eigenvalores y eigenvectores están relacionados con una matriz cuadrada dada A. Un eigenvector es un vector que no cambia su dirección cuando se multiplica por A, aunque puede cambiar su longitud. Cuando es aplicable, la longitud cambia por un escalar, que es el eigenvalor correspondiente al eigenvector.

¿Cómo se usan los eigenvectores en la práctica?

¿Cuál es la definición matemática de un eigenvector?

Eigenvalores y eigenvectores

Una base es un conjunto de vectores que son linealmente independientes y abarcan un subespacio. Un vector es un elemento de un subespacio, donde sus coordenadas son los representantes escalares de la combinación lineal que puede expresarse mediante los vectores de la base. Dado que una base no es única para un subespacio, cada vector de ese subespacio puede expresarse con coordenadas para cada una de sus bases.

Cambio de base

Una transformación lineal es siempre con respecto a una base dada. Un desafío común es determinar la matriz estándar A para una transformación lineal dada otra base.

Transformaciones lineales y bases

La diagonalización es un proceso para descomponer una matriz cuadrada $n$ x $n$ $A$ en el producto de tres matrices; $D$, $P$ y $P^{-1}$ de la siguiente manera
      $$A = PDP^{-1}$$
      donde $D$ es una matriz diagonal que consiste en los eigenvalores de $A$ y $P$ es una matriz cuadrada cuyas columnas son los eigenvectores de $A$. Nota que no todas las matrices cuadradas pueden diagonalizarse, solo aquellas cuyos eigenvectores abarcan el espacio $R^n$

Diagonalización

La diagonalización ortogonal es lo mismo que la diagonalización regular, con el requisito adicional de que los eigenvectores necesitan formar una base ortogonal para $R^n$. Solo las matrices simétricas son diagonalizables ortogonalmente. El proceso de decidir los vectores para la matriz $P$ es aplicando Gram-Schmidt. Luego, por la propiedad de las matrices simétricas, tienes que
     
      $$A = PDP^{-1} = PDP^T$$

Diagonalización ortogonal

Ecuaciones de la forma
      $$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + ... + a_nx_n^2$$
      + todos los términos cruzados posibles $a_kx_ix_j$ con $x_ix_j$ distintos
      se llaman formas cuadráticas y se pueden expresar con una matriz única $A$
      $$x^TAx$$
      y su forma geométrica se puede determinar estudiando los eigenvalores de la matriz $A$.

Forma cuadrática

Los espacios vectoriales no necesitan construirse a partir de números, pueden aplicarse desde un enfoque mucho más general. Una aplicación popular en un curso de álgebra lineal es cubrir espacios polinómicos, donde cada elemento en el espacio es un polinomio. ¿Confundido? puede ser al principio, pero no es tan difícil como parece a primera vista. Lo crucial es conocer los axiomas que definen un espacio vectorial V y ceñirse a ellos. Esos axiomas son
      <br /><br />
      <ul>
      <li>El espacio V está cerrado bajo la adición y la multiplicación por escalares</li>
      <li>La adición es tanto conmutativa como asociativa</li>
      <li>La multiplicación escalar es tanto conmutativa como asociativa</li>
      <li>Existencia de una identidad e inverso para la adición </li>
      <li>Existencia de una identidad e inverso para la multiplicación por escalares</li>
      </ul>

Composiciones de transformaciones lineales

Composiciones

Ejemplo

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