Base y dimensión

Tomemos un buen paso atrás y repasemos las coordenadas de un vector en como si fuera la primera vez, como cuando aprendimos a leer un diagrama en un sistema de coordenadas en la escuela primaria. Anteriormente hemos mencionado los vectores unitarios estándar y :

Es claro que podemos describir como una combinación lineal de y de la siguiente manera:

donde las coordenadas, y , constituyen escalares en la combinación lineal. Cualquier vector puede expresarse en como una combinación lineal de y , y por lo tanto decimos que y forman una base para . Esto se debe a que son linealmente independientes y juntos generan todo el espacio. Esto se puede escribir algebraicamente como:

Esto se puede extender análogamente a todos los vectores y subespacios como se define a continuación:

Es claro que , forman una base para , y se llaman la base estándar. Además, estos vectores son ortogonales entre sí con norma 1, y por lo tanto se dice que constituyen una base ortonormal, o base ON. Si solo fueran ortogonales, habrían cumplido la condición de una base ortogonal.
Propiedades de cada subespacio no nulo en son:

¡La razón para la revisión rigurosa de la base estándar y la definición de base es para introducir al principiante al trabajo con otras bases! Recuerda lo que se aplicaba a las coordenadas de un vector arbitrario ! Las coordenadas son los escalares en la combinación lineal de expresado en los vectores base. Sea:

la base de un subespacio de . Entonces tenemos que cualquier vector arbitrario expresado en tiene las coordenadas:

de tal manera que:

Lo anterior lleva a un sistema lineal de ecuaciones donde el número de ecuaciones es (porque los vectores base pertenecen a ), y el número de incógnitas es (= número de coordenadas). El conjunto de soluciones será una solución única dado que (aunque ).
Nota que siempre tenemos el mismo número de coordenadas que el número de vectores base que generan el subespacio.

Sea:

se expresa en la base estándar . También consideremos que:

sea una base para . Ahora estamos buscando expresado en la base . Es altamente recomendable que el principiante siempre comience sus soluciones para problemas similares de la siguiente manera:

Estamos buscando:

de tal manera que:

Comenzar con estas dos líneas es un concepto probado entre miles de estudiantes, lo que hace que la sección sobre coordenadas con respecto a otras bases sea comprensible con muy buenos resultados. De la segunda línea, podemos derivar un sistema lineal de ecuaciones con una solución única:

De la segunda línea, podemos convertirlo a la forma matricial y a la matriz aumentada y resolver el sistema:

De la matriz aumentada en forma reducida, ahora podemos leer la solución y la respuesta para la expresión de en la base , que es:

Desde la imagen a continuación, podemos ver cómo los dos vectores y definen el paralelogramo cuya diagonal es , completamente de acuerdo con nuestro inicio de la solución anterior y según la definición general de coordenadas.

Sea:

un vector en el subespacio con forma paramétrica:

Vemos que genera un plano porque tiene dos vectores y dos parámetros y . Por lo tanto:

constituye una base para el plano / subespacio . Ahora estamos buscando las coordenadas de expresadas en la base . Nuevamente, comenzamos de la siguiente manera para resolver el problema:

Sea:

de tal manera que:

Preparamos la matriz aumentada y resolvemos el sistema:

y obtenemos:

Verificamos el resultado:

Nótese que tenemos el mismo número de coordenadas que vectores base. Esto significa que el vector se expresa con dos coordenadas, aunque exista en . Más a menudo que no, lamentablemente, esto tiende a confundir al principiante. Por lo tanto, dibujamos la siguiente imagen para mitigar la incomodidad.

En el plano tenemos los vectores , y . También hemos incluido un vector que no está en el plano. Todos estos cuatro vectores se encuentran en y, por lo tanto, tienen tres coordenadas. Sin embargo, todos los vectores en el plano se expresan con dos coordenadas cuando se expresan en una base para el plano. Debido a que el plano es generado por dos vectores, su dimensión es dos. Por lo tanto, el número de vectores base es dos y, en consecuencia, el número de coordenadas también es dos.

Según la imagen, también tenemos al individuo Sr. 2D que vive en el plano . Él puede percibir todos los vectores en el plano, incluyendo , y . Él los ve desde su perspectiva, algo limitada. En su mundo, solo existen los conceptos de ancho y altura, es decir, dos dimensiones. Por lo tanto, él ve las coordenadas de como dos y no tres. Desafortunadamente, el Sr. 2D no puede percibir el vector , que requiere la perspectiva de profundidad. Para reforzar el ejemplo con subespacios y coordenadas locales, introducimos la línea que intersecta el plano en el punto . El Sr. 2D no puede percibir la línea en su totalidad, pero sí tiene la capacidad de percibir el punto de intersección , que también se expresa con dos coordenadas en el subespacio en el que vive el Sr. 2D.

Este ejemplo es un clásico en la física moderna para explicar el concepto de dimensiones superiores. ¿Cómo abordamos los conceptos de espacio, tiempo y espacio dimensional adicional? Bueno, en esos contextos, somos nosotros quienes somos el Sr. 2D, y las posibilidades son infinitas.

La dimensión y las bases están muy estrechamente vinculadas y se pueden relacionar con nuestro conocimiento de la forma paramétrica de la línea y el plano. Recordemos que:

Si una línea y un plano se intersectan, forman subespacios en , y si reemplazamos la palabra vectores de dirección por vectores base, podemos conectar la comparación de estos objetos geométricos con lo que acabamos de aprender sobre bases y subespacios. Claramente vemos la relación con el número de vectores base de un subespacio y su dimensión, lo que nos lleva a las siguientes propiedades para cada subespacio no nulo de :