Aritmética de matrices

Una matriz es una lista rectangular de números, llamados elementos. Cada matriz tiene filas y columnas y su tamaño se llama (se lee "m por n"). Aquí hay algunos ejemplos:

Además, las matrices suelen notarse como enteros (A, B, C, etc.). Sea la matriz A una matriz de . Cada elemento y su identificación (posición en la matriz) suelen notarse como de la siguiente manera:

La suma de matrices solo puede realizarse de manera elemental y si las matrices tienen las mismas dimensiones. Sean y un par de matrices de , y que y que entonces se aplica que;

Aquí tenemos dos ejemplos:

Sea una matriz de . Entonces se aplica lo siguiente para todos los vectores y en y cada escalar :

La multiplicación escalar con una matriz funciona de manera intuitiva. Sea una matriz de sumada veces. Entonces se aplica que:

y para cada elemento en se aplica que:

Para que la multiplicación entre dos matrices esté definida, se requiere que el número de columnas de la matriz izquierda corresponda al número de filas de la matriz derecha. Es decir, las dimensiones de la matriz resultado son el número de filas de la matriz izquierda por el número de columnas de la matriz derecha. En otras palabras:

¿Pero cuál será la matriz resultado de ? Mostramos la multiplicación más sencilla entre la matriz y el vector :

Tomemos un ejemplo:

Sabemos por lo anterior que las dimensiones del resultado de se convierten en y el resultado es:

Tomemos otro ejemplo de multiplicación de matrices donde tiene una columna adicional y por lo tanto se nota como la matriz :

Sabemos por lo anterior que las dimensiones del resultado de se convierten en . El resultado es:

En general, concluimos que el producto de dos matrices, y , se calcula multiplicando las filas de con las columnas de . Entonces el resultado es:

donde los elementos de la matriz se convierten en:

En álgebra lineal, hablamos de productos internos y externos entre dos vectores de la misma dimensión, y . Estos dos se definen de la siguiente manera:

Tomemos el siguiente ejemplo, sean:

Entonces se aplica que los productos interno y externo son:

El estudiante debe estar consciente de las siguientes matrices con las que tratamos en esta sección:

arriba se refiere a la matriz identidad, que se puede ver como un uno multidimensional, una matriz donde todos los elementos son 0 excepto los elementos diagonales, que son todos 1.

La matriz identidad funciona como 1 siendo el operador de identidad para todos los números:

es decir, que:

Nota aquí que la multiplicación por es conmutativa.

La matriz identidad también provoca la existencia de una matriz inversa, notada como . Se aplica la siguiente propiedad:

Si es un uno multidimensional, entonces se puede ver como , aunque esa operación sea matemáticamente ilegal.

Por último, pero no menos importante, tenemos la transpuesta de , que se nota . Se puede ver como una rotación de , donde sus filas se convierten en columnas, de la siguiente manera:

Se aplican las siguientes leyes a la adición de matrices;

Tener en cuenta que la ley conmutativa no se aplica a la multiplicación de matrices, es decir:

Sin embargo, se aplican las siguientes leyes:

Para una matriz cuadrada , la traza de es la suma de los elementos diagonales y se llama . Como ejemplo, tomamos:

En general, por lo tanto, para cada matriz cuadrada , la traza se define de la siguiente manera:

Las leyes para la traza de una matriz cuadrada son: